(资料图)
一、题文
等角螺线我们在水平面内获得一个等角螺线，极坐标方程为r=eθ/√3，θ∈[0,2π]，由质量均匀分布的光滑细丝组成，总质量为m=1kg．此等角螺线由轻质细杆固定（未画出），使其可以绕过原点且垂直于此平面的轴无阻力转动．求此等角螺线的总长度l．求此等角螺线绕轴转动的转动惯量I．找到一个质量同为m的猪，串在螺线θ=0处，并给一个沿螺线切线的初速度v0=10m/s，螺线初始静止，求猪从螺线另一端跑出时，螺旋线的转动角速度ω．我们在空间中放置垂直于纸面向内的匀强磁场B=1T，使猪带有q=0.01C的电量，且让螺线为光滑绝缘体．重新计算（3）．
二、解答
(1)73.2m(2)485kg⋅m2(3)0.254rad/s(4)0.250rad/s三、分析
(1)为了保证量纲看着舒服，定义r0=1m，定义α=60∘，则r=r0eθtanα，∵rdθdr=const=tanα，∴dl=drsinα，∴l=r(2π)−r(0)sinα=r0cosα(e2πtanα−1)=73.2m．(2)dI=mldl⋅r2=mlcosαr2dr，∴I=m3lcosα(r3(2π)−r3(0))=485kg⋅m2．(3)设r(2π)=r1，末速度为v1，末角速度为ω，则：角动量守恒：mv0r0sinα=mv1r1sinα−mωr21−Iω，能量守恒：12mv20=12m(v21+ω2r21−2v1ωr1sinα)+12Iω2，由角动量守恒可以化简得到：v1=(I+mv21)ω+mv0r0sinαmv1sinα，代入能量守恒：mv20=−(I+mr21)ω2−2ωmv0r0sinα+[(I+mr21)ω+mv0r0sinα]2mr21sin2α，已知：r1=37.6m，I=485kg⋅m2，用计算器解得：ω=0.254rad/s．(4)对任意时刻，设速度为v，因为只有r方向的速度才能提供洛伦兹力力矩，所以力矩：M=dLdt=qBvcosα⋅r，因为：vcosα=drdt，所以：dL=qBrdr，积分得：ΔL=12qB(r21−r20)=7.07Js，所以前后角动量的差：ΔL=m(v1rrsinα−ωr21)−Iω−mr0v0sinα，因为没有做功，所以依旧能量守恒：12mv20=12m(v21+ω2r21−2v1ωr1sinα)+12Iω2，由角动量方程可以得到：v1=ΔL+(I+mr21)ω+mv0r0sinαmv1sinα，代入能量守恒：mv20=−(I+mr21)ω2−2ω(mv0r0sinα+ΔL)+[ΔL+(I+mr21)ω+mv0r0sinα]2mr21sin2α，（理论上这是一个二次方程，可以求出解析解）计算器解得：ω=0.250rad/s．本文到此结束，希望对大家有所帮助。
